数学ガール・ガロア理論

数学ガール／ガロア理論

　頭の体操に今年の夏中にガロア理論の概要を理解しようと思う。厳密な数学的証明などは傍においておいて、とりあえずガロア理論のアイデアの概略だけでも理解したい。

第１章

あみだくじ：任意の数を左端に下ろす左下がり階段を複数個繋げることで、任意の順番の並べ替えを実現できる。

３つの数のあみだくじにおいて

• どんでん：３つの数の並び替え（回転）。
• ぐるりん：２つの数の交換（裏返し）。
• すとん：なにもしない。

第３章

巡回群：ただ一つの元からなる群（正三角形の回転操作に相当）。
対称群：並び替え操作の群。
アーベル群：可換な群。

• 群の部分集合が必ずしも群となるとは限らない。
• あみだくじ（３次の対称群）の場合の部分群は、回転操作に対応する群と、裏返し操作に回転する群と、単位群と自身の６つ。

第６章

• Q(√２)のような拡大体を線形空間とみなせ、その上に拡大次数を定義することができる。

第８章

• 体に根を付加したときの拡大次数は、その冪根の最小多項式の次数と等しい。
• 根αに対する最小多項式の全ての根を含むような拡大を、正規拡大と呼ぶ。

第９章

• 群とその部分群から、群をいくつかの部分集合（剰余類）に類別することがきる。剰余類が必ずしも群になるとは限らない。
• 正規部分群で類別した場合、剰余類が群になる。

第１０章

正規拡大

最小多項式の全ての根を添加された拡大体

ガロア拡大

正規拡大、かつ分離拡大

ガロア群の定義

（正直この本のガロア群の定義は分かりにくい）
E/Fにおいて（EをFのガロア拡大）、F の各元を固定する E の自己同型全体のなす群をガロア群と呼ぶ

ガロア群の例

• Q(√２)の場合

a+b√２をa-b√２に変換する群