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猫型エンジニアのブログ

プログラム/ネットワーク系の技術関連をまとめたページです 

数学ガール・ガロア理論

数学ガール/ガロア理論

数学ガール/ガロア理論

 頭の体操に今年の夏中にガロア理論の概要を理解しようと思う。厳密な数学的証明などは傍においておいて、とりあえずガロア理論のアイデアの概略だけでも理解したい。

第1章

あみだくじ:任意の数を左端に下ろす左下がり階段を複数個繋げることで、任意の順番の並べ替えを実現できる。

3つの数のあみだくじにおいて

  • どんでん:3つの数の並び替え(回転)。
  • ぐるりん:2つの数の交換(裏返し)。
  • すとん:なにもしない。

第3章

巡回群:ただ一つの元からなる群(正三角形の回転操作に相当)。
対称群:並び替え操作の群。
アーベル群:可換な群。

  • 群の部分集合が必ずしも群となるとは限らない。
  • あみだくじ(3次の対称群)の場合の部分群は、回転操作に対応する群と、裏返し操作に回転する群と、単位群と自身の6つ。

第6章

  • Q(√2)のような拡大体を線形空間とみなせ、その上に拡大次数を定義することができる。

第8章

  • 体に根を付加したときの拡大次数は、その冪根の最小多項式の次数と等しい。
  • 根αに対する最小多項式の全ての根を含むような拡大を、正規拡大と呼ぶ。

第9章

  • 群とその部分群から、群をいくつかの部分集合(剰余類)に類別することがきる。剰余類が必ずしも群になるとは限らない。
  • 正規部分群で類別した場合、剰余類が群になる。

第10章

正規拡大

最小多項式の全ての根を添加された拡大体

ガロア拡大

正規拡大、かつ分離拡大

ガロア群の定義

(正直この本のガロア群の定義は分かりにくい)
E/Fにおいて(EをFのガロア拡大)、F の各元を固定する E の自己同型全体のなす群をガロア群と呼ぶ

ガロア群の例
  • Q(√2)の場合

a+b√2をa-b√2に変換する群